안구의 3차원적 위치 (대학생 이상) – part 1

고체가 공간에서 차지하는 위치는 기준 위치로부터 3축의 직선 운동과 3축의 회전 운동으로 기술할 수 있다. 눈의 움직임은 세쌍의 근육에 의해서 이루어지는데 신경 제어를 통해서 이 근육에 가해지는 힘의 조합과 안구 궤도의 점성, 근육의 탄성 등에 의해서 위치가 결정된다. 안구가 움직이는 동안, 안구의 회전 중심(각막 표면에서 13.5mm 뒤)은 대체로 일정하게 유지되기 때문에 직선 운동은 무시할 수 있을 정도로 미미하고 따라서 안구의 회전 중심을 원점으로 하는 3차원의 회전으로 안구의 위치를 완전하게 기술할 수 있다. 안구 운동을 제어하는 신경 신호는 ‘Listing의 법칙’으로 알려져 있는 특성으로 안구 위치를 제약하여 안구 운동의 자유도를 2축의 회전으로 감소시킬 수 있다. 이 글은 3차원 안구 운동과 관련된 수학적 표현에 기초하여 안구 위치를 3차원으로 기술하고 안구 운동의 자유도에 관해 논의한 것이다.

안구의 회전축

[그림 1] 안구의 세 회전축. 머리에 고정된 공간 좌표를 정육면체로 표시하고 이 공간의 좌표축의 원점에 안구가 위치함. x, y, z는 이 공간 좌표의 축과 평행한 안구의 세 회전축을 보임. 각 축을 중심으로 하는 회전은 비틀림(T), 수직(V), 수평(H) 운동을 일으킨다.

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[그림 1]은 안구의 세 회전축을 표시한다. 삼차원 안구의 회전의 방향과 크기를 여기서는 ‘오른손 법칙’에 따라서 기술하였다. 오른손의 첫 세 손가락을 서로 직교하게 곧게 폈을 때, 엄지가 위로 향하여 z축을 구성하고 검지가 x축을 구성하여 시선이 정면을 향하였을 때 시선의 방향과 일치한다. 중지는 y축을 구성한다. z축을 중심으로 손바닥 방향의 회전이 + 방향이고 손 등 쪽을 향한 회전이 – 방향으로 정의된다. 흔히 데카르트 좌표의 수평 운동이 z축에 의해서 이루어지며 부호는 이와 반대여서 데카르트 좌표의 우측이 +의 방향이지만 ‘오른손 법칙’에 의한 기술에서는 -의 방향이다. 검지가 겨누는 x축을 중심으로 하는 회전은 비틀림 (cyclotorsion 혹은 torsion) 운동을 일으킨다. 시계방향의 회전이 ‘+’로, 반시계방향이 ‘-‘로 정의된다. 중지에 해당하는 y축을 중심으로 하는 회전은 수직 운동을 일으킨다. 시선을 아래로 보내는 회전이 ‘-‘, 위로 보내는 회전이 ‘+’로 정의되어 데카르트 좌표계와 반대이다.

시선의 위치

망막의 중심와(fovea centralis)와 안구의 광학적 중심을 연결하는 가상적인 직선을 시선이라 한다. 시선의 위치는 1차, 2차, 3차 위치로 이루어진다. 시선의 1차 위치는 흔히 ‘머리를 곧게 세운 상태에서 시선을 정면으로 했을 때의 시선의 위치’로 느슨하게 정의되지만 엄격한 정의는 ‘Listing 평면(아래에서 정의)에 수직 방향’으로 시선이 놓여져 있을 때를 말한다. 1차 위치에서 출발하여 순수 수평 혹은 수직 방향으로만 시선이 이동했을 때 시선은 2차 위치에 놓이고 그 외의 방향으로 이동하고 나면 시선은 3차 위치에 놓이게 된다. 시선은 두 회전 차원으로 기술이 가능하다.

 안구의 위치

위에서 언급한 바와 같이 시선이 향하는 방향을 중심축(그림 1의 x축)으로 하여 안구가 회전하는 것을 비틀림이라 부른다. 비틀림은 우리가 잘 의식하지 못하지만 상황에 따라 4-5도의 회전이 쉽게 발생하기도 하며 훈련에 의해서 30도의 비틀림을 의지적으로 발생시킬 수 있는 사람도 있었다. 따라서 안구의 위치는 시선의 위치에서 비틀림을 추가한 것이다.

좌표 체계

안구의 위치를 기술하는 데는 아래에 정리한 바와 같이 크게 두 가지의 체계가 있다. 일반적으로 Euler 각도를 사용하는 Fick, Helmholtz, Lising 좌표 체계들이 사용되고 있다. 이 체계에서는 안구의 3차원적 위치가 위계적으로 배열된 회전 축의 순서에 따라서 두 번 (Lising 좌표) 혹은 세 번 (Fick, Helmholtz 체계)의 순차적인 회전의 크기로서 표현된다. 그러나 실제로 안구와 같이 3차원에서 회전 운동을 하는 물체의 경우, 이 물체가 향하는(위치하는) 임의의 한 방향에서 다른 임의의 방향으로의 이동은 한 회전으로 가능하다(Euler, 1775). 안구의 3차원적 위치도 기준 위치에서 출발한 단일 회전으로 기술이 가능한데 이를 표현하는 수학 체계로서 rotation vector, quaternion이 있다.

(1) Fick 좌표 체계

Fick과 Helmholtz 좌표 체계는 세 회전 축 가운데 하나가 머리에 고정된 것으로 간주하고, 기준위치에서 시작하여 세 차원을 따르는 세 번의 회전으로 안구의 임의의 위치를 표현한다. 세 회전 축은 독립적으로 배열되지 않고 위계적으로 배열되어 있다. Fick 좌표계는 수직축([그림 1]의 z축)이 머리에 고정되어서 (흔히 지구 표면도에서 북극과 남극이 고정되어 있듯이) 먼저 수직축을 중심으로 하는 회전으로 longitude가 결정되고 결정된 경도를 따라 수평축을 중심으로 회전하여 latitude가 정해진다. 먼저 회전하는 수직축을 따라서 수평축([그림 1]의 y축)도 그만큼 회전하기 때문에 수평축이 수직축에 독립되어 있지 않고 위계적으로 묻혀 있다. 전망대에 설치된 망원경은 Fick 좌표계에 따라 움직인다. 망원경의 상하 위치는 좌우 회전이 먼저 이루어진 다음에 결정된 것이다. Fick 좌표계의 마지막 세 번째의 회전은 앞서 두 회전축의 회전과 함께 이동하는 회전축([그림 1]의 x축)을 중심으로 비틀림이 이루어지는 것이다.

(2) Helmholtz좌표 체계

Helmholtz 좌표계는 수평축이 머리에 고정되어 있어서 수평축을 중심으로 하는 회전이 먼저 이루어져서 elevation이 결정되고 이어서 첫 회전을 따라서 이동하는 수직축을 중심으로 하여 azimuth가 결정된다. Fick 체계와 마찬가지로 비틀림이 마지막으로 이루어진다. 양안의 위치를 표현할 경우 Helmholtz 좌표계는 결정적인 이점을 가진다. 이 좌표계에서는 이미 결정된 elevation을 따라 azimuth가 결정되기 때문에 정상안의 경우, 양안의 수평 회전축은 머리에 고정된 동일한 축이기 때문에 양안의 elevation은 동일하다. 따라서 양안의 교차각 (vergence angle)은 양안의 azimuth의 차이이다. 그러나, Fick 좌표계에서는 latitude가 longitude에 따라 결정되기 때문에 양안의 위도가 경도에 따라서 다르다. 따라서 3차 위치에 양안을 고정하면 Helmholtz 체계에서 양안의 elevation은 동일하지만 Fick 체계에서 양안의 latitude는 동일하지 않아서 수직 방향의 양안 교차각을 이루고 이로 인해 양안의 교차각을 기술하기가 간단하지 않다.

(3) 극 좌표

극 좌표 (polar 혹은 perimetirc coordinate) 혹은 Listing 좌표 체계는 머리에 고정된 축은 머리의 전후 방향으로 위치하는데 이 축에 직교하는 회전축을 중심으로 안구의 회전이 표현된다. 시선의 방향이 한 회전으로 얻어지는데 시선 이동의 방향(즉 안구 회전축이 상하의 기준에서 이탈, 회전한 크기)이 inclination으로 표현되고 이동의 크기가 eccentricity로서 표현된다.

안구의 3차원적 위치 (대학생 이상) – part 2

3차원 회전의 비가역성

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[그림 2] 3차원 회전의 비가역성. A 위치의 윷을 (‘오른손 법칙’에 따라 정의된 회전축과 회전 방향을 사용하여) z축을 중심으로 +90도 회전하면 B 위치를 획득하고 이를 이어서 y축을 중심으로 +90도 회전하면 C 위치를 획득한다. 이번에는 회전의 순서를 바꾸어 D (A와 동일)의 윷을 y축을 중심으로 먼저 +90도 회전하여 얻어진 E 위치에서 이어서 z축을 중심으로 +90도 회전하면 F의 위치가 얻어지는데 이것은 C에서 보이는 위치와 다르다.

Euler 각도를 사용하는 위의 좌표로서 표현되는 회전의 크기들은 해석이 직접적이고 용이하지만 회전의 순서 (즉, 좌표 체계의 선택)에 따라서 상이한 값을 얻게 된다. 이러한 성질을 수학적으로 3차원 회전의 비가역성(non-commutativity)이라 부른다. [그림 2]는 A에서 보인 윷의 처음 위치에서 z축, y축의 순서에 따라 회전한 위치 (C)와 y축, z축의 순서대로 회전하고 난 후의 3차원적 위치 (F)가 상이함을 보인다.

 

회전 행렬 (rotation matrix)

삼차원 회전의 수학은 회전 행렬을 중심으로 이루어진다. 아래는 회전 행렬을 설명한 것이다. 3차 공간에서 한 벡터를 z축을 중심으로 순수 수평 방향으로 회전하는 것은,

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로서 주어진다. 이를 행렬식으로 표현하면,

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이 되고, 이 수평 회전을 표현하는 부분을 회전 행렬

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로 표시하고, 같이 하여 순수 수직 방향의 회전 행렬을

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순수 비틀림 방향의 회전 행렬을

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과 같이 표현할 수 있다. 위에서 언급한 바와 같이 Fick 좌표 체계는 좌우 회전 후에 상하 회전으로 표현하며 Helmholtz체계는 상하 회전이 먼저 이루어진다. 세 번째의 회전은 시선을 중심으로한 비틀림이다. 즉,

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예를 들어 45도 좌, 20도 아래의 회전을 회전 행렬로 표현하여 정리했을 때,

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이며, 이와 반대의 순서로, 20도 아래, 45 좌의 회전의 순서로 회전했을 때는

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로서 주어진다. 위에서 보듯이, 회전의 순서에 따라서 상이한 회전 행렬을 얻게 되며, 따라서 동일한 회전 행렬을 가지고 상이한 Fick 각도, Helmholtz 각도들이 얻어진다. Listing 좌표계는 안구 운동을 두 번의 회전으로 표현하게 되어 Fick, Helmholtz 좌표계에 비교하여 비가역성의 문제는 감소한다.

자기장에 의한 3D 안구 운동의 측정

회전 행렬의 각 요소는 자기장을 이용하여 안구 운동을 측정할 경우 얻어지는 신호에 직접 비례한다. 광학적 방법으로도 삼차원 안구 운동을 측정할 수 있으나(Clarke et al., 1991), 안구의 세 회전량을 수학적으로 기술하는데 가장 효율적인 측정법이 자기장에 의한 안구 운동의 측정이다. 존스 홉킨스 대학의 David A. Robinson(1963)은 자기장을 이용하여 안구 위치를 정밀하게 측정하는 기법을 최초로 개발하였다. 이 방식에 의하면 피험자 주위에서 교류의 전자장이 피험자의 안구에 부착된 코일에 교류 전압을 유도하게 된다. 유도되는 전압의 크기는 코일의 평면이 자기장의 방향과 수직일 때 최대이며 자장의 방향과 평행일 때 영이다. 즉 자속(magnetic flux)을 차단하는 코일의 면적(즉 코일 방향과 자장축이 이루는 각도의 cosine)에 비례하여 유도되는 전압의 크기가 결정된다. 수평, 수직 방향으로 향하는 두 개의 자장이 동시에 작용할 경우 한 코일에 유도되는 전압은 두 개의 자장에 의해 유도되는 신호가 합해진 것인데 두 자장이 90도의 위상 차를 가지거나 주파수가 다르면 합성된 교류 전압을 각 자장에 의해서 유도되는 두 성분으로 분리할 수 있다. 확장하여 세 축의 자장을 사용하는 경우에는 주파수를 달리하는 방식이 효율적이다. 안구를 중심으로 좌우, 상하, 전후에 위치하는 세 쌍의 코일에 각기 다른 주파수의 전류를 보냄으로써 직교하는 세 축의 자기장을 형성하고 이 자기에 의해서 안구 코일에 유도되는 전압을 탐지하며 주파수 탐지를 통해서 탐지 코일의 방향이 각 자기장의 축과 이루는 각을 얻을 수 있다. [그림 1]에서 안구의 전후에 위치한 정사각형의 쌍이 전후 자기장을 형성하는 코일로 사용되고 마찬가지로 좌우의 정사각형 쌍과 상하의 정사각형 쌍은 각각 좌우, 상하 자기장을 형성하기 위한 코일의 위치를 나타낸다. 예를 들어, 40kHz, 60kHz, 90kHz의 주파수로 형성된 z,y,z 방향의 자장의 중앙에 위치한 피험자의 눈에 부착된 공막 콘텍트렌즈(scleral contact lens)에 유도된 전압은 위상탐지회로를 거쳐 안구의 3차원에 관련된 기초 신호 성분으로 분해된다.

아래는 [그림 1]에서 보인 자기장에 의한 3차원 안구 운동의 측정과 관련된 수학을 정리한 것이다. 세 축의 자기장, B 속에 안구가 위치하며 안구 표면에는 안구의 위치를 탐지하기 위한 세 개의 탐지 코일, C 가 부착되어 있는 것을 가정한다. 이 세 개의 탐지 코일의 방향은 [그림 1]의 x, y, z축이 향하는 방향이다. 밑줄은 벡터를 표시하며 여기서는 세 개의 요소를 가진다. 코일 벡터는 실제 탐지 코일과 수직이고 벡터의 길이는 코일의 표면적에 비례하도록 벡터를정하면 코일에 유도되는 전압은 BC가 이루는 각도의 cosine에 비례한다.

유도 코일에 의해서 형성되는 자기장은 아래와 같이 주어진다.

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여기서, B는 자기장의 강도이며 ω는 주파수이다. h는 [그림 1]에서 보인 자기장을 형성하는 프레임의 좌표 축을 나타내는데 자기장은 이 축에 평행이다. 안구에 세 개의 탐지 코일이 서로 직교하면서 부착되었다고 가정할 때, 세 자장에 의해서 세 개의 탐지 코일에 각각 유도되는 전압, Vij는 아래와 같이 주어진다.

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(여기서 i,j = 1,2,3.) 여기서, Rij는 회전 행렬, 즉 코일 (c1, c2, c3)가 자기장(B1, B2, B3)과 정렬한 기준 방향에서 현재 방향사이의 회전을 표시하는데, i 자장에 의해서 j 코일에 유도된 전압 Vij는 회전 행렬의 Rij 요소에 비례한다. 탐지 코일이 자장과 정렬되어 있지 않은 일반적인 경우에 적용할 수 있는 공식은 Hesset (1992)에 제시되어 있다. 위에 기술한 회전 행렬은 3 개의 코일을 사용하는 것으로 기술되어 있다. 행렬의 성질상 3×3 행렬 가운데 두 행, 혹은 두 열만으로 나머지 한 행 혹은 나머지 한 열의 값을 얻을 수 있다. 즉,

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의 회전 행렬의 RijBi자장에 의해서 cj코일에 유도되는 전압에 비례하는 값인데 아래와 같이 한 행은 나머지 두 행의 cross product이다.

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같은 방식으로,

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이므로 두 개의 코일을 안구에 부착함으로써 3×3 회전 행렬의 모든 요소를 얻을 수 있다.

3차원 안구 회전은 흔히, 방향 코일(direction coil), 비틀림 코일(torsion coil)이라 부르는 두 개의 코일에 의해서 이루어지는데 두 개의 코일이 실리콘 링 속에 교차하는 방향으로 함입되어 한 쪽 안구에 부착되게 제작될 수 있으며, 네덜란드에 소재한 Skalar Inc.는 이를 유일하게 상업적으로 제작하여 공급하고 있다. 두 개의 탐지 코일이 교차하는 각도는 직교화(orthogonalization, 일반적인 선형 대수학의 교과서에서 소개되고 있음)를 통해서 직교하는 회전 행렬로 변환이 가능하다.

아래는 위의 방식에 따라 세 개의 자기장에 의해서 세 개(실제로는 두 개)의 코일에 유도된 전압의 성분을 두 좌표 체계에 따라서 보인 것이다. 회전 행렬의 각 요소를 Fick 각도로서 표현하면,

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로 표현되고 회전 행렬의 각 요소에 기초하여 Fick의 각들은 다음과 같이 얻어진다.

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같은 방식으로,

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로서 각 회전 행렬과 각 좌표계 혹은 좌표계 간의 모든 변환이 가능하다.

2축의 자기장

두 개의 자장축에 의해서 안구 운동이 측정되기도 하는데, 이 경우, 회전 행렬의 성분은 아래와 같이 이루어진다. 이 경우, 측정 전압의 절대적인 크기가 중요하므로 정위(calibration)가 정확하게 이루어져야 한다.

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실제 얻어진 수치를 예로서 설명하면, 각 자기장에 의해서 각 코일에 유기되는 전압을 해당 자기장에 의해서 유도되는 전압의 극대치로 나누어 아래의 행렬이 얻어지고,

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이를 위에서 기술한 두 좌표계에 따라 각 회전축에 따른 Euler 각도를 계산하였을 때, Fick 좌표계에 따른 회전량은

27: 25.4°, 28 : 14.3°, 29 : 3.3°로서 주어지고,

Helmholtz 체계에 따른 회전량은,

30  : 24.6°,  31: 15.8°, 32: -3.4°로서 주어진다.

 

헛 비틀림

위에서 알 수 있듯이 동일하게 측정된 전압이지만 기술하는 좌표 체계에 따라서 상이한 값이 얻어지며 특히 비틀림의 경우 회전의 방향이 반대로 얻어지기도 한다(3.3도와 -3.4도). Fick과 Helmholtz 좌표 체계에 의해 얻어지는 비틀림을 ‘헛 비틀림(false torsion)’이라 하는 이유가 바로 이것이다.

안구의 3차원적 위치 (대학생 이상) – part 3

회전 벡터와 quaternion

 안구의 회전을 기술하는데는 세 개의 값이 요구되는데 반해 회전 행렬은 9 개의 요소를 가지고 있으며 임의적인 회전의 순서에 따라서 상이한 값을 보이는 단점이 있다. 세 개의 요소를 가지는 회전 벡터는 이 단점을 극복하면서 회전을 기술할 수 있다. 여기서 벡터의 방향이 회전 축을 나타내고 벡터의 길이로서 회전의 크기를 나타낸다. [그림 1]에서와 같이 회전 축을 x, y, z축으로 정의하고 [그림 1]의 안구의 위치를 기준으로 설정하면 각 회전은 [x, y, z]의 벡터로 표현할 수 있다. 예를 들어, y축을 중심으로 + 방향으로 (오른손 법칙에 의하여) 즉 시선이 아래로 향하게 하는 회전을 [0, +0.3, 0], z축을 중심으로 시선을 오른쪽으로 보내는 회전을 [0, 0, -0.2] 등과 같이 표현할 수 있다. 회전 벡터는 세 개의 요소만을 가지며 임의적인 회전의 순서가 없다. 비틀림 회전이 Fick, Helmholtz 체계에서 시선을 중심으로 하는 세 번째 회전인데 반해서 회전 벡터에서는 순서의 개념이 없는 벡터의 첫 번째 요소로 표현된다. 따라서 안구의 3차원적 회전은 Euler의 정리와 같이 한 번의 회전으로 표현이 가능하다.

 회전 벡터, r과 자기 유도에 의해서 얻어진 회전 행렬 Rij와의 관계는 아래와 같이 주어진다. (Haustein, 1989).

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또, Hamilton(1899)에 의해 발견된 대수인 quaternion으로도 회전의 비가역성 문제가 없이 안구의 운동을 기술할 수 있다. Hamilton은 3D에서의 운동을 다루기 위해, 즉 한 벡터를 회전하여 다른 벡터를 얻기 위하여 원래의 벡터에 곱해져야 하는 벡터는 4요소가 필요함을 발견하고 이를 quaternion이라 불렀다. 삼차원 안구 운동의 표현과 관련하여 주요한 좌표 체계들이 확립되었던 Helmholtz 시대에 이 quaternion algebra가 알려져 있었지만, 안구운동에 적용되기 시작한 것은 20세기 중반이었으며 Westheimer(1957)가 최초였던 것으로 알려져 있다. quaternion에 관한 수학적 성질은 Altman(1986)에서 볼 수 있으며 안구 운동에 대한 최근의 적용은 Tweed et al.(1990)에서 볼 수 있다. 회전 벡터와 quaternion은 실제 계산에 있어서는 비슷하다. 그러나, quaternion 체계는 4 개의 요소를 가짐으로써 두 좌표축을 사용한 Euler 각에 비해 훨씬 비효율적임이 지적되며(Clement, 1991), 해석이 간단하지가 않다.

Donders의 법칙과 Listing의 법칙

안구의 3차원적 회전에 관한 관심의 역사는 바로 생리학적 광학의 역사이다. 19세기 후반에 안구의 3차원 위치를 기술하기 위한 좌표 체계와 3차원 안구 운동의 모형에 관한 주요한 업적들이 이루어졌다. 실험심리학을 창설한 Wundt는 1862에 해부학적 요인 외에도 생리적 요인까지 고려한 19세기 최고의 안구 운동 모형(ophthalmotrope)을 제작하기도 하였다. 이 모형에는 근육의 힘을 스피링과 무게로 모사하였는데 탄성 계수가 근육의 단면적에 비례하고 근육의 길이에 반비례하도록 정교하게 고안된 것이었다.

 Ruete는 잔상을 이용하여 자신의 안구운동을 연구하고 있었는데, 군의관이면서 부족한 생계비를 보충하기 위해 아르바이트로 Ruete의 저작을 번역하는 일을 하기 시작한 Donders가 이 일에 관심을 가지게 되어 잔상 실험을 반복하게 된다. 암흑의 방에서 정면에 잠깐 비춘 수직의 빛을 응시한 후 시선을 3차 위치에 이동하면 잔상의 방향은 시선의 위치에 따라 일정하게 변함을 발견하였다. 즉 한 표적에 시선을 고정할 때, 표적의 위치가 시선의 방향을 결정하지만 시선의 방향에 대한 비틀림의 크기는 결정하지 않는데 그는 비틀림의 크기가 임의로 결정되는 것이 아니라 시선의 방향에 따라 결정됨을 발견한 것이다(1848). 이 결과는 안구의 위치를 제어하는 초기 신경 신호는 기본적으로 독립된 2차원으로 충분함을 시사하는 것이다.그는 또 안구 운동의 시작 위치에 관계 없이 도달한 3차 위치가 동일하면 동일한 비틀림이 있는 것을 발견하였다. 이를 ‘Donders의 법칙’이라 부른다.

 Listing은 비틀림의 크기를 계산하였다. 1차 위치에 수직인 평면에 포함되는 축을 중심으로 회전이 일어나면 한 번의 회전으로 모든 위치에 안구가 도달할 수 있다. 1차 위치에서 출발하는 안구 운동은 비틀림이 없이 어디든지 이를 수 있다. 다시 말해, 1차 위치를 기준점으로 정의하면 모든 회전 벡터가 한 평면에 정렬된다. 이를 Helmholtz 이후 ‘Listing의 법칙’으로 불러왔다. 그러나 3차 위치에서 출발하여 3차위치에 도달하는 안구 운동은 항상 비틀림을 포함한다. 따라서 안구 운동의 출발점으로서 1차 위치를 이용하는 것이 중요한데 1차 위치를 정확하게 발견하기 위해서는 안구의 3차원적 측정이 이루어져야 한다. 1차 위치는 사람에 따라 다르며 동일인이라도 단기적 시각 경험에 따라 변하기도 한다.

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[그림 3] 회전 벡터를 사용한 안구의 3차원 위치. 자극판에 표시된 몇 개의 점들에 시선을 고정하고 있는 동안에 채집된 전압에서부터 위에서 기술한 방식으로 각 순간의 회전 벡터를 계산하여 표시한 것이다. 안구 위치의 기준 벡터 즉 [0, 0, 0]를 자극판의 중앙을 응시했을 때의 위치 벡터로서 정의하였다. 회전 벡터의 각 요소를 100배하면 대략 회전 각도의 단위가 된다. a: 회전 벡터의 y와 z요소로 구성되는 평면상에 표시한 안구의 위치 분포로서 자극판의 응시점의 배열을 바라보는 패턴과 동일하다. b: 안구의 3차원 위치벡터를 옆에서 바라 본 것으로서 시선의 3차원 위치가 한 평면에 모여 있음을 볼 수 있고 이 평면을 Listing 평면이라 부른다. c: 안구의 위치들을 비틀림 성분을 최소화하는 3차원 위치로 회전하였을 떄의 분포이다.

[그림 3]는 정지하고 있는 자극판의 중앙의 자극을 중심으로 외곽에 표시된 6 개의 점들을 순차적으로 응시할 때 채집된 안구의 위치를 안구가 고정되어 있는 시간에 얻어진 자료만을 분리하여 (안구 운동 시기는 제외하고) 3차원 안구 위치를 회전 벡터로서 표시한 것이다. 회전 벡터의 y와 z요소로 구성되는 평면상에 표시한 안구의 위치 분포(a)는 자극판의 응시점의 배열을 바라보는 패턴과 흡사한데 이 분포를 옆에서 본 분포(b)는 한 평면에 포함되어 이를 Listing 평면이라 부른다. 안구 위치 분포를 변환 (회전)하여 비틀림이 최소화하는 분포(c)를 얻은 이 경우는 자극판을 향한 머리를 약간 (10도 정도) 아래로 향하게 하여 눈을 부릅 뜨게 하는 것과 같은데 이 평면에 수직인 시선이 바로 1차 위치로서 정의된다. 안구의 3차원적 위치를 Fick이나 Helmholtz의 각으로 표시하면 평면이 아닌 휜 표면에 포함된다(Suzuki et al, 1994).

 Listing의 법칙은 결국 안구의 신경 제어에 있어서 2차원적 신호만으로써 3차원 제어를 할 수 있음을 뜻한다. 상구 (superior colliculus)를 전기 자극하여 관찰되는 안구의 위치 변화는 한 평면에 포함되어, Listing의 법칙을 준수하였는 바 상구 하위의 회로에서 Listing의 법칙이 구현되는 것으로 생각된다 (Tweed & Vilis, 1990). 도약 안구 운동 (saccadic eye movement)의 짧은 기간 동안 (약 50msec)에 이 법칙은 준수되지 않아서 약 1-2도의 비틀림이 발생한다 (Straumann et al., 1995). 이 비틀림 운동이 신경 제어에 의해서 일어나는 것인지 혹은 안구 주변의 기계적 특성에 의한 것인지 아직 밝혀져 있지 않다.

 안구의 3차원 위치와 3차원 운동의 신경 제어에 관한 연구가 지속되고 있다. 이 가운데 중요한 업적들로서 Tweed와 Wilis(1987)는 quaternion을 사용한 동역학을 기술하면서 안구의 위치는 안구의 속도를 적분하여 얻어지지 않음을 보인 반면에 Schnabolk과 Raphan(1994)는 3차원 속도를 위치로 변환하는 모형을 제시하였다(1994).

참고문헌

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Clarke, A. H., Teiwes, W. & Scherer, H. (1991) Videooculography - an alternative method for measurement of three-dimensional eye movements. In Schmidt, R. & Zambarbieri, D. (Eds), Oculomotor control and cognitive processes (pp. 431-443). Amsterdam: Elsevier. 

Donders F.C. (1848) Beitrag zur Lehre von den Bewegungen des menschlichen Auges. Holland. Beitr. Annal. Physiol. Wiss., 1, 104-145. H. J. Simonzs, & I. Den Tonkelaar (1990) 에서 재인용. 

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그림을 보는 눈의 움직임 – 초등학생을 위한 소개

38 눈과 뇌는 서로 협동하면서 정보를 수집하고 처리합니다. 눈은 뇌에게 시각 정보를 보내고, 뇌는 눈에게 움직이도록 운동 명령을 보냅니다. 눈이 무엇을 보았는지, 다음에는 어디를 볼 지 결정하는 것은 뇌가 하는 일입니다. 다음 번, 미술관을 방문하여 그림을 볼 때, 눈이 어디에 머무는지, 그 곳에 얼마나 머무는지 주의해 보세요.

그림을 볼 때, 우리 눈이 어떻게 그림을 살필까요? 위에 있는 그림은 왼편 위에 있는 그림을 살피는 한 사람의 눈의 움직임들을 표시한 것입니다. 아무 의도 없이 그냥 그림을 살필 때 눈의 움직임은 ‘1’(오른 편 위)과 같습니다. ‘1’에서 선들은 눈의 움직임을 나타내고, 선 사이의 점들은 눈이 머무는 점들을 나타냅니다.

그림 속에 있는 사람들이 얼마나 잘 사는 사람들인지를 추측해보라는 지시를 받고 난 사람이 눈을 어떻게 움직이는지를 ‘2’에 표시한 것입니다. ‘1’과 어떤 차이가 있습니까?

‘3’은, 그림 속의 사람들의 나이를 추측해 보라는 지시를 받고 난 다음에,

‘4’는, 방문객이 도착하기 전에 사람들이 무엇을 하고 있었는지를 추측해 보라는 지시를 받고 난 다음에,

‘5’는, 사람들이 입고 있는 옷을 기억하라는 지시를 받고 난 다음에,

‘6’은, 방에서 사람들과 물건이 차지하는 위치를 기억하라는 지시를 받고 난 다음에,

‘7’은, 그림 속의 방문자들이 이 가족을 얼마 만에 찾아 온 것인지를 추측해보라는 지시를 받은 다음에, 그림을 살피는 눈의 움직임들입니다.

어떤 차이들이 있습니까? 그림을 통해서 얻고자 하는 정보에 따라서, 즉 그림에서 정보를 구하는 의도에 따라서, 눈의 움직임이 다른 것이 보입니까? 그러면 눈의 움직임을 보면 사람의 의도를 알 수 있지 않을까요? 그림을 보는 눈의 움직임은 그림 전문가와 비전문가와도 다릅니다. 그렇다면 눈의 움직임을 잘 측정하면 전문가와 비전문가를 가릴 수도 있겠지요. 마찬가지 원리로 글을 읽을 때 눈의 움직임이 잘 읽는 사람과 그렇지 못한 사람 사이에 다릅니다. 독서력이 있는 사람과 그렇지 않은 사람도 가릴 수 있겠지요. 또 어떤 일이 가능할까요?

위 그림은 다음의 책에서 따온 것입니다. Yarbus, A.L. (1967) Eye movements and vision. trans. L.A. Riggs. New York: Plenum Press.

한글을 읽는 눈의 움직임(1) – 모든 연령

본 실험실에서는 한글 사용자가 한글을 읽을 때, 시선이 어떻게 움직이는지를 연구해 왔다.

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본 실험실에서 얻어진 결과의 일부를 여기에 그림으로 소개한다. 그림은 네 부분으로 나누어져 있다. A는 한글을 읽는 동안 눈이 향하는 위치를 측정하기 위해서 사용한 장치의 원리를 도식적으로 보이기 위해서 그린 것이다. 정육면체의 틀에 전선을 감아 코일을 만들고, 이 코일에 고주파 전류를 흘려서 자기장을 형성하였다(수평 방향으로 50kHz, 수직 방향으로 75kHz, 그림에서는 수평 코일 쌍을 보이고 수직 쌍은 생략하였다). 자기장의 중앙에 위치한 참가자의 머리 위에 코일(전선을 감은 것)을 단단히 부착하고, 눈에는 B에 보이는 코일을 콘택트 렌즈처럼 부착하였다. 참가자는 앉아서 정면의 스크린이나 컴퓨터 모니터에 제시되는 글을 읽었다. 자기장 속에 위치한 머리 코일과 안구 코일에는 전류가 유도되고, 이를 일정한 방식으로 위상탐지하면, 머리 코일과 안구 코일이 자장의 방향과 이루는 각도, 즉 머리와 안구가 자기장의 틀과 이루는 각도를 0.1도의 정밀도로 측정해 낼 수 있었다. B에 보이는 코일은 실리콘 고무에 가는 전선을 감아 함입시켜 제작된 것이었다. 이를 눈에 부착하게 되면 전선 부분이 코 쪽으로 향하게 된다. C는 한 참가자가 자기장의 중앙에 앉아서, 코일을 머리에 부착하고, 안구 코일을 눈에 부착하기 위해 손에 들고 있는 모습이다. D는 글줄에서 시선이 향하는 위치를 초당 500회 결정하여 원으로 표시한 것이다. 참가자에게, ‘글 위의 삼각형을 응시하다가 시작 소리와 함께 글을 읽기 시작하고 읽기를 마치면 글 아래의 삼각형을 응시’하도록 지시하였다. 원 사이의 거리가 멀면 안구 운동의 속도가 빠른 것을 나타낸다.

그림 D에서 보는 바와 같이 시선은 연속적으로 글줄을 훝어 지나가지 않으며, 많은 원이 중첩된 위치, 즉 시선의 고정 위치에 평균 250ms(4분의 1초) 머물러 글을 추출하고, 다음 고정 위치로 빠른 속도로 (초당 200도 이상) 시선이 이동한다. 이와 같이 빠른 시선의 이동을 도약(saccade)운동이라 부른다. 따라서 글을 읽는 시선의 이동 패턴은 도약과 고정을 반복하는 것이다. 고정 위치 간의 거리는 평균 4음절이다. 글을 잘 읽게 될 수록 고정 기간이 짧아지고, 도약의 크기가 증가한다. 가로로 쓰여진 글과 세로로 쓰여진 글을 읽는 시선의 이동 패턴을 분석한 결과에 의하면, 가로로 쓰여진 글을 읽을 때가 도약의 크기가 상대적으로 컸으나 고정 기간은 동일하였다. 또, 가로 읽기의 경우 시선이 이동하는 속도가 빨랐다(세로 읽기의 경우와 동일한 크기의 안구운동일지라도). 가로 읽기에서 도약의 크기가 크기 때문에 같은 길이의 글을 읽을 때, 보다 적은 회수의 고정이 일어나고 이로 인해서 가로 읽기가 세로 읽기에 비교해서 더욱 빠르게 되는데 그 차이는 평균 24%로서 가로 읽기가 빠르다.

한글 읽기에 관한 보다 자세한 설명은 “한글을 읽는 시선의 움직임 (서울대학교 출판부)”를 참고하세요.

http://www.snupress.com/