안구의 3차원적 위치 (대학생 이상) – part 2

3차원 회전의 비가역성

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[그림 2] 3차원 회전의 비가역성. A 위치의 윷을 (‘오른손 법칙’에 따라 정의된 회전축과 회전 방향을 사용하여) z축을 중심으로 +90도 회전하면 B 위치를 획득하고 이를 이어서 y축을 중심으로 +90도 회전하면 C 위치를 획득한다. 이번에는 회전의 순서를 바꾸어 D (A와 동일)의 윷을 y축을 중심으로 먼저 +90도 회전하여 얻어진 E 위치에서 이어서 z축을 중심으로 +90도 회전하면 F의 위치가 얻어지는데 이것은 C에서 보이는 위치와 다르다.

Euler 각도를 사용하는 위의 좌표로서 표현되는 회전의 크기들은 해석이 직접적이고 용이하지만 회전의 순서 (즉, 좌표 체계의 선택)에 따라서 상이한 값을 얻게 된다. 이러한 성질을 수학적으로 3차원 회전의 비가역성(non-commutativity)이라 부른다. [그림 2]는 A에서 보인 윷의 처음 위치에서 z축, y축의 순서에 따라 회전한 위치 (C)와 y축, z축의 순서대로 회전하고 난 후의 3차원적 위치 (F)가 상이함을 보인다.

 

회전 행렬 (rotation matrix)

삼차원 회전의 수학은 회전 행렬을 중심으로 이루어진다. 아래는 회전 행렬을 설명한 것이다. 3차 공간에서 한 벡터를 z축을 중심으로 순수 수평 방향으로 회전하는 것은,

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로서 주어진다. 이를 행렬식으로 표현하면,

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이 되고, 이 수평 회전을 표현하는 부분을 회전 행렬

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로 표시하고, 같이 하여 순수 수직 방향의 회전 행렬을

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순수 비틀림 방향의 회전 행렬을

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과 같이 표현할 수 있다. 위에서 언급한 바와 같이 Fick 좌표 체계는 좌우 회전 후에 상하 회전으로 표현하며 Helmholtz체계는 상하 회전이 먼저 이루어진다. 세 번째의 회전은 시선을 중심으로한 비틀림이다. 즉,

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예를 들어 45도 좌, 20도 아래의 회전을 회전 행렬로 표현하여 정리했을 때,

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이며, 이와 반대의 순서로, 20도 아래, 45 좌의 회전의 순서로 회전했을 때는

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로서 주어진다. 위에서 보듯이, 회전의 순서에 따라서 상이한 회전 행렬을 얻게 되며, 따라서 동일한 회전 행렬을 가지고 상이한 Fick 각도, Helmholtz 각도들이 얻어진다. Listing 좌표계는 안구 운동을 두 번의 회전으로 표현하게 되어 Fick, Helmholtz 좌표계에 비교하여 비가역성의 문제는 감소한다.

자기장에 의한 3D 안구 운동의 측정

회전 행렬의 각 요소는 자기장을 이용하여 안구 운동을 측정할 경우 얻어지는 신호에 직접 비례한다. 광학적 방법으로도 삼차원 안구 운동을 측정할 수 있으나(Clarke et al., 1991), 안구의 세 회전량을 수학적으로 기술하는데 가장 효율적인 측정법이 자기장에 의한 안구 운동의 측정이다. 존스 홉킨스 대학의 David A. Robinson(1963)은 자기장을 이용하여 안구 위치를 정밀하게 측정하는 기법을 최초로 개발하였다. 이 방식에 의하면 피험자 주위에서 교류의 전자장이 피험자의 안구에 부착된 코일에 교류 전압을 유도하게 된다. 유도되는 전압의 크기는 코일의 평면이 자기장의 방향과 수직일 때 최대이며 자장의 방향과 평행일 때 영이다. 즉 자속(magnetic flux)을 차단하는 코일의 면적(즉 코일 방향과 자장축이 이루는 각도의 cosine)에 비례하여 유도되는 전압의 크기가 결정된다. 수평, 수직 방향으로 향하는 두 개의 자장이 동시에 작용할 경우 한 코일에 유도되는 전압은 두 개의 자장에 의해 유도되는 신호가 합해진 것인데 두 자장이 90도의 위상 차를 가지거나 주파수가 다르면 합성된 교류 전압을 각 자장에 의해서 유도되는 두 성분으로 분리할 수 있다. 확장하여 세 축의 자장을 사용하는 경우에는 주파수를 달리하는 방식이 효율적이다. 안구를 중심으로 좌우, 상하, 전후에 위치하는 세 쌍의 코일에 각기 다른 주파수의 전류를 보냄으로써 직교하는 세 축의 자기장을 형성하고 이 자기에 의해서 안구 코일에 유도되는 전압을 탐지하며 주파수 탐지를 통해서 탐지 코일의 방향이 각 자기장의 축과 이루는 각을 얻을 수 있다. [그림 1]에서 안구의 전후에 위치한 정사각형의 쌍이 전후 자기장을 형성하는 코일로 사용되고 마찬가지로 좌우의 정사각형 쌍과 상하의 정사각형 쌍은 각각 좌우, 상하 자기장을 형성하기 위한 코일의 위치를 나타낸다. 예를 들어, 40kHz, 60kHz, 90kHz의 주파수로 형성된 z,y,z 방향의 자장의 중앙에 위치한 피험자의 눈에 부착된 공막 콘텍트렌즈(scleral contact lens)에 유도된 전압은 위상탐지회로를 거쳐 안구의 3차원에 관련된 기초 신호 성분으로 분해된다.

아래는 [그림 1]에서 보인 자기장에 의한 3차원 안구 운동의 측정과 관련된 수학을 정리한 것이다. 세 축의 자기장, B 속에 안구가 위치하며 안구 표면에는 안구의 위치를 탐지하기 위한 세 개의 탐지 코일, C 가 부착되어 있는 것을 가정한다. 이 세 개의 탐지 코일의 방향은 [그림 1]의 x, y, z축이 향하는 방향이다. 밑줄은 벡터를 표시하며 여기서는 세 개의 요소를 가진다. 코일 벡터는 실제 탐지 코일과 수직이고 벡터의 길이는 코일의 표면적에 비례하도록 벡터를정하면 코일에 유도되는 전압은 BC가 이루는 각도의 cosine에 비례한다.

유도 코일에 의해서 형성되는 자기장은 아래와 같이 주어진다.

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여기서, B는 자기장의 강도이며 ω는 주파수이다. h는 [그림 1]에서 보인 자기장을 형성하는 프레임의 좌표 축을 나타내는데 자기장은 이 축에 평행이다. 안구에 세 개의 탐지 코일이 서로 직교하면서 부착되었다고 가정할 때, 세 자장에 의해서 세 개의 탐지 코일에 각각 유도되는 전압, Vij는 아래와 같이 주어진다.

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(여기서 i,j = 1,2,3.) 여기서, Rij는 회전 행렬, 즉 코일 (c1, c2, c3)가 자기장(B1, B2, B3)과 정렬한 기준 방향에서 현재 방향사이의 회전을 표시하는데, i 자장에 의해서 j 코일에 유도된 전압 Vij는 회전 행렬의 Rij 요소에 비례한다. 탐지 코일이 자장과 정렬되어 있지 않은 일반적인 경우에 적용할 수 있는 공식은 Hesset (1992)에 제시되어 있다. 위에 기술한 회전 행렬은 3 개의 코일을 사용하는 것으로 기술되어 있다. 행렬의 성질상 3×3 행렬 가운데 두 행, 혹은 두 열만으로 나머지 한 행 혹은 나머지 한 열의 값을 얻을 수 있다. 즉,

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의 회전 행렬의 RijBi자장에 의해서 cj코일에 유도되는 전압에 비례하는 값인데 아래와 같이 한 행은 나머지 두 행의 cross product이다.

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같은 방식으로,

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이므로 두 개의 코일을 안구에 부착함으로써 3×3 회전 행렬의 모든 요소를 얻을 수 있다.

3차원 안구 회전은 흔히, 방향 코일(direction coil), 비틀림 코일(torsion coil)이라 부르는 두 개의 코일에 의해서 이루어지는데 두 개의 코일이 실리콘 링 속에 교차하는 방향으로 함입되어 한 쪽 안구에 부착되게 제작될 수 있으며, 네덜란드에 소재한 Skalar Inc.는 이를 유일하게 상업적으로 제작하여 공급하고 있다. 두 개의 탐지 코일이 교차하는 각도는 직교화(orthogonalization, 일반적인 선형 대수학의 교과서에서 소개되고 있음)를 통해서 직교하는 회전 행렬로 변환이 가능하다.

아래는 위의 방식에 따라 세 개의 자기장에 의해서 세 개(실제로는 두 개)의 코일에 유도된 전압의 성분을 두 좌표 체계에 따라서 보인 것이다. 회전 행렬의 각 요소를 Fick 각도로서 표현하면,

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로 표현되고 회전 행렬의 각 요소에 기초하여 Fick의 각들은 다음과 같이 얻어진다.

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같은 방식으로,

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로서 각 회전 행렬과 각 좌표계 혹은 좌표계 간의 모든 변환이 가능하다.

2축의 자기장

두 개의 자장축에 의해서 안구 운동이 측정되기도 하는데, 이 경우, 회전 행렬의 성분은 아래와 같이 이루어진다. 이 경우, 측정 전압의 절대적인 크기가 중요하므로 정위(calibration)가 정확하게 이루어져야 한다.

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실제 얻어진 수치를 예로서 설명하면, 각 자기장에 의해서 각 코일에 유기되는 전압을 해당 자기장에 의해서 유도되는 전압의 극대치로 나누어 아래의 행렬이 얻어지고,

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이를 위에서 기술한 두 좌표계에 따라 각 회전축에 따른 Euler 각도를 계산하였을 때, Fick 좌표계에 따른 회전량은

27: 25.4°, 28 : 14.3°, 29 : 3.3°로서 주어지고,

Helmholtz 체계에 따른 회전량은,

30  : 24.6°,  31: 15.8°, 32: -3.4°로서 주어진다.

 

헛 비틀림

위에서 알 수 있듯이 동일하게 측정된 전압이지만 기술하는 좌표 체계에 따라서 상이한 값이 얻어지며 특히 비틀림의 경우 회전의 방향이 반대로 얻어지기도 한다(3.3도와 -3.4도). Fick과 Helmholtz 좌표 체계에 의해 얻어지는 비틀림을 ‘헛 비틀림(false torsion)’이라 하는 이유가 바로 이것이다.