안구의 3차원적 위치 (대학생 이상) – part 1

고체가 공간에서 차지하는 위치는 기준 위치로부터 3축의 직선 운동과 3축의 회전 운동으로 기술할 수 있다. 눈의 움직임은 세쌍의 근육에 의해서 이루어지는데 신경 제어를 통해서 이 근육에 가해지는 힘의 조합과 안구 궤도의 점성, 근육의 탄성 등에 의해서 위치가 결정된다. 안구가 움직이는 동안, 안구의 회전 중심(각막 표면에서 13.5mm 뒤)은 대체로 일정하게 유지되기 때문에 직선 운동은 무시할 수 있을 정도로 미미하고 따라서 안구의 회전 중심을 원점으로 하는 3차원의 회전으로 안구의 위치를 완전하게 기술할 수 있다. 안구 운동을 제어하는 신경 신호는 ‘Listing의 법칙’으로 알려져 있는 특성으로 안구 위치를 제약하여 안구 운동의 자유도를 2축의 회전으로 감소시킬 수 있다. 이 글은 3차원 안구 운동과 관련된 수학적 표현에 기초하여 안구 위치를 3차원으로 기술하고 안구 운동의 자유도에 관해 논의한 것이다.

안구의 회전축

[그림 1] 안구의 세 회전축. 머리에 고정된 공간 좌표를 정육면체로 표시하고 이 공간의 좌표축의 원점에 안구가 위치함. x, y, z는 이 공간 좌표의 축과 평행한 안구의 세 회전축을 보임. 각 축을 중심으로 하는 회전은 비틀림(T), 수직(V), 수평(H) 운동을 일으킨다.

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[그림 1]은 안구의 세 회전축을 표시한다. 삼차원 안구의 회전의 방향과 크기를 여기서는 ‘오른손 법칙’에 따라서 기술하였다. 오른손의 첫 세 손가락을 서로 직교하게 곧게 폈을 때, 엄지가 위로 향하여 z축을 구성하고 검지가 x축을 구성하여 시선이 정면을 향하였을 때 시선의 방향과 일치한다. 중지는 y축을 구성한다. z축을 중심으로 손바닥 방향의 회전이 + 방향이고 손 등 쪽을 향한 회전이 – 방향으로 정의된다. 흔히 데카르트 좌표의 수평 운동이 z축에 의해서 이루어지며 부호는 이와 반대여서 데카르트 좌표의 우측이 +의 방향이지만 ‘오른손 법칙’에 의한 기술에서는 -의 방향이다. 검지가 겨누는 x축을 중심으로 하는 회전은 비틀림 (cyclotorsion 혹은 torsion) 운동을 일으킨다. 시계방향의 회전이 ‘+’로, 반시계방향이 ‘-‘로 정의된다. 중지에 해당하는 y축을 중심으로 하는 회전은 수직 운동을 일으킨다. 시선을 아래로 보내는 회전이 ‘-‘, 위로 보내는 회전이 ‘+’로 정의되어 데카르트 좌표계와 반대이다.

시선의 위치

망막의 중심와(fovea centralis)와 안구의 광학적 중심을 연결하는 가상적인 직선을 시선이라 한다. 시선의 위치는 1차, 2차, 3차 위치로 이루어진다. 시선의 1차 위치는 흔히 ‘머리를 곧게 세운 상태에서 시선을 정면으로 했을 때의 시선의 위치’로 느슨하게 정의되지만 엄격한 정의는 ‘Listing 평면(아래에서 정의)에 수직 방향’으로 시선이 놓여져 있을 때를 말한다. 1차 위치에서 출발하여 순수 수평 혹은 수직 방향으로만 시선이 이동했을 때 시선은 2차 위치에 놓이고 그 외의 방향으로 이동하고 나면 시선은 3차 위치에 놓이게 된다. 시선은 두 회전 차원으로 기술이 가능하다.

 안구의 위치

위에서 언급한 바와 같이 시선이 향하는 방향을 중심축(그림 1의 x축)으로 하여 안구가 회전하는 것을 비틀림이라 부른다. 비틀림은 우리가 잘 의식하지 못하지만 상황에 따라 4-5도의 회전이 쉽게 발생하기도 하며 훈련에 의해서 30도의 비틀림을 의지적으로 발생시킬 수 있는 사람도 있었다. 따라서 안구의 위치는 시선의 위치에서 비틀림을 추가한 것이다.

좌표 체계

안구의 위치를 기술하는 데는 아래에 정리한 바와 같이 크게 두 가지의 체계가 있다. 일반적으로 Euler 각도를 사용하는 Fick, Helmholtz, Lising 좌표 체계들이 사용되고 있다. 이 체계에서는 안구의 3차원적 위치가 위계적으로 배열된 회전 축의 순서에 따라서 두 번 (Lising 좌표) 혹은 세 번 (Fick, Helmholtz 체계)의 순차적인 회전의 크기로서 표현된다. 그러나 실제로 안구와 같이 3차원에서 회전 운동을 하는 물체의 경우, 이 물체가 향하는(위치하는) 임의의 한 방향에서 다른 임의의 방향으로의 이동은 한 회전으로 가능하다(Euler, 1775). 안구의 3차원적 위치도 기준 위치에서 출발한 단일 회전으로 기술이 가능한데 이를 표현하는 수학 체계로서 rotation vector, quaternion이 있다.

(1) Fick 좌표 체계

Fick과 Helmholtz 좌표 체계는 세 회전 축 가운데 하나가 머리에 고정된 것으로 간주하고, 기준위치에서 시작하여 세 차원을 따르는 세 번의 회전으로 안구의 임의의 위치를 표현한다. 세 회전 축은 독립적으로 배열되지 않고 위계적으로 배열되어 있다. Fick 좌표계는 수직축([그림 1]의 z축)이 머리에 고정되어서 (흔히 지구 표면도에서 북극과 남극이 고정되어 있듯이) 먼저 수직축을 중심으로 하는 회전으로 longitude가 결정되고 결정된 경도를 따라 수평축을 중심으로 회전하여 latitude가 정해진다. 먼저 회전하는 수직축을 따라서 수평축([그림 1]의 y축)도 그만큼 회전하기 때문에 수평축이 수직축에 독립되어 있지 않고 위계적으로 묻혀 있다. 전망대에 설치된 망원경은 Fick 좌표계에 따라 움직인다. 망원경의 상하 위치는 좌우 회전이 먼저 이루어진 다음에 결정된 것이다. Fick 좌표계의 마지막 세 번째의 회전은 앞서 두 회전축의 회전과 함께 이동하는 회전축([그림 1]의 x축)을 중심으로 비틀림이 이루어지는 것이다.

(2) Helmholtz좌표 체계

Helmholtz 좌표계는 수평축이 머리에 고정되어 있어서 수평축을 중심으로 하는 회전이 먼저 이루어져서 elevation이 결정되고 이어서 첫 회전을 따라서 이동하는 수직축을 중심으로 하여 azimuth가 결정된다. Fick 체계와 마찬가지로 비틀림이 마지막으로 이루어진다. 양안의 위치를 표현할 경우 Helmholtz 좌표계는 결정적인 이점을 가진다. 이 좌표계에서는 이미 결정된 elevation을 따라 azimuth가 결정되기 때문에 정상안의 경우, 양안의 수평 회전축은 머리에 고정된 동일한 축이기 때문에 양안의 elevation은 동일하다. 따라서 양안의 교차각 (vergence angle)은 양안의 azimuth의 차이이다. 그러나, Fick 좌표계에서는 latitude가 longitude에 따라 결정되기 때문에 양안의 위도가 경도에 따라서 다르다. 따라서 3차 위치에 양안을 고정하면 Helmholtz 체계에서 양안의 elevation은 동일하지만 Fick 체계에서 양안의 latitude는 동일하지 않아서 수직 방향의 양안 교차각을 이루고 이로 인해 양안의 교차각을 기술하기가 간단하지 않다.

(3) 극 좌표

극 좌표 (polar 혹은 perimetirc coordinate) 혹은 Listing 좌표 체계는 머리에 고정된 축은 머리의 전후 방향으로 위치하는데 이 축에 직교하는 회전축을 중심으로 안구의 회전이 표현된다. 시선의 방향이 한 회전으로 얻어지는데 시선 이동의 방향(즉 안구 회전축이 상하의 기준에서 이탈, 회전한 크기)이 inclination으로 표현되고 이동의 크기가 eccentricity로서 표현된다.